He considerado hablar sobre este tema porque gran
parte del desarrollo del rigor matemático se vivió en la Grecia antigua cuando
Euclides tomó la decisión de organizar una parte de los trabajos geométricos
desarrollados hasta ese entonces; era inevitable que dentro de esta
axiomatización tuviera en cuenta ciertos parámetros impuestos por los
matemáticos de esa época, para Acevedo y Falk (1997) el más llamativo y
excluyente era el parámetro que establecía que solo se consideraba objeto
geométrico aquel que fuera construido con regla y compás, esta determinación
condujo a que Euclides dejara a un lado otro tipos de trabajos geométricos que
utilizaban artefactos para hallar soluciones a problemas que eran imposibles de
solucionar utilizando exclusivamente regla y compás.
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| Imagén tomada de http://thales.cica.es |
La
geometría euclidiana fue una estructura matemática rígida, pues impedía el
desarrollo de la matemática en otro aspectos que no eran contemplados por
Euclides, para González (1998) Los elementos de Euclides que establecen como
paradigma un estilo sintético de exposición que oculta la vía heurística del
descubrimiento, impulsa la geometría al margen de la aritmética, impide el
desarrollo del álgebra en un sentido algorítmico y simbólico y limita la construcción
de nuevas curvas mediante intersección de superficies o lugares geométricos
definidos a través de relaciones de
áreas o longitudes, en forma de proporción y no en forma de ecuaciones.
Sin
embargo, la geometría euclidiana y el uso de la regla y el compás evitaron de una forma exclusiva el uso de artefactos mecánicos en la solución de problemas geométricos, la aceptación a soluciones mediante métodos diferentes al
euclidiano, pero no podía evitar la aparición de los inconmensurables, la cual
provocó en palabras de González (1998) una crisis de fundamentos, ya que no
había ningún argumento, proposición o teorema que pudiera definirlos y/o
utilizarlos en la solución de algún
problema. Es importante tener presente que la geometría de Euclides permitía
sumar, restar, multiplicar, dividir, obtener raíces cuadradas de magnitudes,
más de no de números lo cual trajo consigo como lo afirma González (1998), la
separación entre aritmética y geometría.
A continuación se puede apreciar un vídeo donde el Pato Donald (personaje de Walt Disney) viaja en el maravilloso mundo de las matemáticas y encuentra las medidas inconmensurables que fueron "descubiertas" por los pitagóricos, los cuales trataron de esconderlos del mundo. (para saber más acerca de el tema de los Pitagóricos ir a http://www.e-torredebabel.com/Balmes-Historia-Filosofia/Pitagoricos-H-F-B.htm )
Ahora bien, con la
llegada de las magnitudes inconmensurables los geómetras griegos no podían
reconocer, justificar ni trabajar con
número irracionales lo cual los condenó a realizar sus trabajos
geométricos en el conjuntos de los número racionales positivos, porque como
aclara González (1998) a ninguna magnitud puede asociarse una unidad negativa.
Sin embargo, no se quiere afirmar que los griegos
trabajaron con este tipo de números, sino que las magnitudes con las cuales
trabajaban cumplían ciertas condiciones; y este hecho, produjo un abismo entre los
trabajos realizados mediante magnitudes continuas y los trabajos realizados
mediante números, ya que no encontraron una forma
de relacionarlos.
Al
no poder trabajar con magnitudes inconmensurables y con números irracionales se
obtiene una de las principales razones de porque los griegos que trabajan bajo
la geometría euclidiana no podían construir curvas diferentes a la
circunferencia con regla y compás. Por ejemplo: al querer construir una
parábola con regla y compás se pueden obtener puntos que pertenezcan a una parábola pero al momento de unir los
puntos bajo los postulados impuestos por Euclides no se obtendría la curva
deseada, es decir, teniendo en cuenta el plano cartesiano, si se tienen en cuenta exclusivamente los postulados de Euclides, la parábola no sería una curva si no una unión de rectas "largas", puesto que solo se pueden hallar unos cuantos puntos pertenecientes a una parábola.
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| Esta imagen refleja lo dicho en el párrafo anterior |
Entendiendo
postulado como una proposición fundamental de un sistema deductivo que no es
evidente por sí misma, pero que tampoco puede ser demostrada, Según González
(1998) Euclides establece en su libro I
cinco postulados en los cuales basa toda su geometría estos son:
1.
Una línea recta puede ser dibujada
uniendo dos puntos cualesquiera.
2.
Un segmento de línea recta se puede
extender indefinidamente en una línea recta.
3.
Dado un segmento de línea recta, puede
dibujarse una circunferencia con
cualquier centro y distancia.
4.
Todos los ángulos rectos son iguales
entre sí.
5.
. Si una línea recta corta a otras dos,
de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor
que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en
el que están los ángulos menores que dos rectos.
Y
con estos la geometría euclidiana se ata al uso de la regla y el compás, ya que
el postulado 1 hace referencia al uso de la regla y el postulado 3 al uso del
compás; y de paso deja establecido que la única curva posible de construir
sería la circunferencia, puesto que todos los puntos pertenecientes a una
circunferencia si pueden ser unidos mediante el uso de estos instrumentos.
He
aquí otras de las razones por las cuales es imposible construir una curva
diferente a la circunferencia con regla y compás, el problema del continuo y la
densidad de los números racionales, no permiten que existan construcciones con
regla y compás que contengan todos los puntos pertenecientes a una curva a
excepción de las rectas y circunferencias.
Continuara..
