MARCO TEÓRICO PARA EDUCACIÓN EN TECNOLOGÍA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

La resolución de problemas es una metodología de enseñanza que intenta promover la construcción de los conocimientos en los estudiantes, se escapa de la educación tradicional e intenta promover la interacción entre saber, estudiante y profesor; una de las metodologías más utilizadas en la resolución de problemas es la teoría de situaciones didácticas planteadas por Brousseau la cual esta conformada por las siguientes situaciones: 

Situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado. Situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación en informaciones entre alumnos, deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. Situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o a varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierta; hay que explicar que necesariamente debe ser así.

Finalmente la aparición del maestro se concreta en una situación de institucionalización, entendida como aquella en la que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecido de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación

MEDICIÓN:

La actividad de medir es una de las acciones que el ser humano realiza cotidianamente, y es considerada por Vergnaud (1991) junto a la acto de contar, nociones básicos que el hombre desarrolla con el fin de sobrellevar su rutina diaria. Esa interacción entre el contexto y el proceso de medir hace que la matemática tenga un fuerte significado (MEN, 2008).

La necesidad de medir ha hecho que el hombre se preocupe en describir el tipo de característica que requiere medir, durante largos periodos de tiempo cada cultura ha establecido sus unidades de medida para realizar de forma precisa y  justa reparticiones de alimentos y tierras. Culturas como las egipcias y babilonias son un ejemplo de esto. Sin embargo estás unidades eran medidas antropométricas impuestas por la autoridad.

Durante el transcurso de  los años las medidas antropométricas desarrollaron  un papel crucial en el proceso de medir, sin embargo con el paso del tiempo  y el cambio de socio-económico se hizo necesario una unificación de las unidades básicas para medir aquellas magnitudes significativas (Godino, 2002); con significativas se hace referencia a aquellas magnitudes primordiales en la actividad del ser humano (longitud, peso y tiempo).

Esta unificación de las unidades de medida recibió el nombre de Sistema Internacional y se llevó a cabo en 1960 parís definiendo al metro, kilogramo y segundo como unidades para la medición de las magnitudes citadas en el párrafo anterior. Pero ¿qué es una magnitud? Magnitud hace referencia a “…un semi-grupo conmutativo con elemento neutro y ordenado…” (Godino, 2002, p.629), además debe cumplir cierto tipo de características como: debe ser un conjunto de objetos homogéneos con propiedades particulares, en el cual sea posible la operación suma.

UNIDADES ARBITRARIAS Y ESTANDARIZADAS

Como se mencionó existen magnitudes principales con las cuales el ser humano convive día tras día, una de éstas es la de longitud, magnitud estudiada profundamente en la época helenística sin la cual la geometría griega no hubiera podido ser. Los griegos trabajaron esta magnitud por medio de proposiciones, llegando a establecer medidas exactas de longitudes por medio del análisis deductivo, excluyendo a instrumentos de medida para demostrar congruencia y proporción de longitudes, la cual se logró proporcionando una unidad arbitraria.(Salazar y Vargas, 1996).

La longitud es relacionada con objetos matemáticos llamados segmentos, y cumple completamente con la definición de magnitud, ya que éstos se pueden sumar para obtener un segmento mayor y se pueden ordenar segmentos dependiendo de su tamaño.

Ese proceso de suma de longitudes en figuras geométricas recibe el nombre de perímetro y Se hace necesario para el proceso de medir seleccionar una unidad de medida, que cubra o delinee la cantidad que se desea medir mediante una colección de unidades (en este caso los lados de polígonos –figuras geométricas-) y posteriormente expresar la medida en el número de veces que se reitera la unidad. (Godino, 2002)

ÁREA

Pero en las figuras geométricas es posible encontrar otro tipo de magnitud, como por ejemplo el área, magnitud que es definida como:

“…el número de unidades requeridas para cubrir una región plana es el área de dicha región. Usualmente se eligen cuadrados como unidad de área, pero cualquier forma que recubra la figura sin solapamientos ni agujeros puede utilizarse como unidad de medida”. (Godino, 2002 p.661)

Se debe tener claro que  si un polígono es congruente con otro cuando posee ambos poseen igual área; además si un polígono es descompuesto en varias subregiones, la suma del área de las subregiones será igual al área del polígono.

Es de aclarar que las definiciones antes dichas no deben ser enseñadas directamente a los estudiantes, ya que estos deben adquirir y construir la noción de magnitud, es por esto que el maestro tiene que valerse de ciertas técnicas para hacer adecuado dicho acto.

“Cuando un maestro de enfrenta a la tremenda y dificilísima tarea de hacer que su clase –y cada niño en particular- empiece a descubrir y asimilar conceptos básicos para la maduración de su personalidad, no solo debe id cargado de conocimientos –imprescindibles, por otra parte-, sino las técnicas y procesos de enseñanza que traigan a los niños el aprendizaje.” Chamorro (1991)

DIDÁCTICA DEL ÁREA Y EL PERÍMETRO

Para abordar los conceptos acerca de la medida, nos remitimos a Chamorro (1991), quien plantea una descripción general de los principales estadios, que, a su criterio, el estudiante debe superar para el conocimiento y manejo de una magnitud dada, dichos estadios los describe así:

1.    Consideración y percepción de la magnitud (perímetro y área)

Considerar el perímetro y el área como propiedades distintas de otras que puedan poseer los objetos, manipulando el objeto, con sus propias manos y experimentando esa sensación distinta de la que sentiría para estimar y considerar otras propiedades del mismo.

2.    Conservación de la magnitud (perímetro y área)

Que el estudiante constate que por más que un objeto cambie de color, forma, posición, etc., la característica que se evalúe no cambia para nada, con lo cual se puede hacer a la idea que el perímetro o el área permanecen constante, a pesar que el objeto se someta a determinados cambios.

3.    Ordenación respecto a la magnitud (perímetro y área)

Una vez superada la etapa anterior,  el estudiante pueda ordenar varios objetos considerando una sola propiedad, siendo capaz de hacer razonamientos de éste tipo: “esto tiene más perímetro o más área que esto” “esto tiene menos perímetro o menos área que esto” “esto tiene igual perímetro o igual área que esto”. Para conseguir la ordenación de los objetos, es evidente que habrá de utilizar también la propiedad transitiva, siguiendo aproximadamente a una deducción del tipo: A > B, B > C entonces A > C.

4.   Relación entre la magnitud (perímetro y área) y el número.

Llega, por último, el momento en que el estudiante se ve en la necesidad de decir, con una cierta exactitud, cuánto mide dicha magnitud del objeto y es, entonces, cuando ha de asignar un número a ese objeto lo que lleva consigo la adopción anterior de una unidad de medida, con todo el proceso hasta llegar a este concepto incluido, y será lo que lo haga expresar la medida de la magnitud.

LA IMPOSIBILIDAD DE CONSTRUIR CURVAS CON REGLA Y COMPÁS

He considerado hablar sobre este tema porque gran parte del desarrollo del rigor matemático se vivió en la Grecia antigua cuando Euclides tomó la decisión de organizar una parte de los trabajos geométricos desarrollados hasta ese entonces; era inevitable que dentro de esta axiomatización tuviera en cuenta ciertos parámetros impuestos por los matemáticos de esa época, para Acevedo y Falk (1997) el más llamativo y excluyente era el parámetro que establecía que solo se consideraba objeto geométrico aquel que fuera construido con regla y compás, esta determinación condujo a que Euclides dejara a un lado otro tipos de trabajos geométricos que utilizaban artefactos para hallar soluciones a problemas que eran imposibles de solucionar utilizando exclusivamente regla y compás.

Imagén tomada de http://thales.cica.es

La geometría euclidiana fue una estructura matemática rígida, pues impedía el desarrollo de la matemática   en otro aspectos que no eran contemplados por Euclides, para González (1998) Los elementos de Euclides que establecen como paradigma un estilo sintético de exposición que oculta la vía heurística del descubrimiento, impulsa la geometría al margen de la aritmética, impide el desarrollo del álgebra en un sentido algorítmico y simbólico y limita la construcción de nuevas curvas mediante intersección de superficies o lugares geométricos definidos a través de relaciones  de áreas o longitudes, en forma de proporción y no en forma de ecuaciones.

Sin embargo, la geometría euclidiana y el uso de la regla y el compás evitaron de una forma exclusiva  el uso de artefactos mecánicos en la solución de problemas geométricos, la aceptación a soluciones mediante métodos diferentes al euclidiano, pero no podía evitar la aparición de los inconmensurables, la cual provocó en palabras de González (1998) una crisis de fundamentos, ya que no había ningún argumento, proposición o teorema que pudiera definirlos y/o utilizarlos en la solución  de algún problema. Es importante tener presente que la geometría de Euclides permitía sumar, restar, multiplicar, dividir, obtener raíces cuadradas de magnitudes, más de no de números lo cual trajo consigo como lo afirma González (1998), la separación entre aritmética y geometría.

A continuación se puede apreciar un vídeo donde el Pato Donald (personaje de Walt Disney) viaja en el maravilloso mundo de las matemáticas y encuentra las medidas inconmensurables  que fueron "descubiertas" por los pitagóricos, los cuales trataron de esconderlos del mundo. (para saber más acerca de el tema de los Pitagóricos ir a http://www.e-torredebabel.com/Balmes-Historia-Filosofia/Pitagoricos-H-F-B.htm )

 

Ahora bien, con la llegada de las magnitudes inconmensurables los geómetras griegos no podían reconocer, justificar ni trabajar con  número irracionales lo cual los condenó a realizar sus trabajos geométricos en el conjuntos de los número racionales positivos, porque como aclara González (1998) a ninguna magnitud puede asociarse una unidad negativa. Sin embargo, no se quiere afirmar que los griegos trabajaron con este tipo de números, sino que las magnitudes con las cuales trabajaban cumplían ciertas condiciones; y este hecho, produjo un abismo entre los trabajos realizados mediante magnitudes continuas y los trabajos realizados mediante números, ya que no encontraron una forma de relacionarlos.

Al no poder trabajar con magnitudes inconmensurables y con números irracionales se obtiene una de las principales razones de porque los griegos que trabajan bajo la geometría euclidiana no podían construir curvas diferentes a la circunferencia con regla y compás. Por ejemplo: al querer construir una parábola con regla y compás se pueden obtener puntos que pertenezcan a  una parábola pero al momento de unir los puntos bajo los postulados impuestos por Euclides no se obtendría la curva deseada, es decir, teniendo en cuenta el plano cartesiano, si se tienen en cuenta exclusivamente los postulados de Euclides, la parábola no sería una curva si no una unión de rectas "largas", puesto que solo se pueden hallar unos cuantos puntos pertenecientes a una parábola. 

Esta imagen refleja lo dicho en el párrafo anterior

Entendiendo postulado como una proposición fundamental de un sistema deductivo que no es evidente por sí misma, pero que tampoco puede ser demostrada, Según González (1998)   Euclides establece en su libro I cinco postulados en los cuales basa toda su geometría estos son:

1.       Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.

2.      Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3.      Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse una circunferencia con cualquier centro y distancia.

4.      Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5.      . Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Y con estos la geometría euclidiana se ata al uso de la regla y el compás, ya que el postulado 1 hace referencia al uso de la regla y el postulado 3 al uso del compás; y de paso deja establecido que la única curva posible de construir sería la circunferencia, puesto que todos los puntos pertenecientes a una circunferencia si pueden ser unidos mediante el uso de estos instrumentos.

 

He aquí otras de las razones por las cuales es imposible construir una curva diferente a la circunferencia con regla y compás, el problema del continuo y la densidad de los números racionales, no permiten que existan construcciones con regla y compás que contengan todos los puntos pertenecientes a una curva a excepción de las rectas y circunferencias.

Continuara..